生成函数及其实现（mysql 中0到1随机）
生成函数及其实现
生成函数是离散数学中一种重要的工具，它在组合数学、计算机科学、物理学等领域中都有着广泛的应用。它是一种将一个序列转换为一种“函数”的方法，这个“函数”通常是一个幂级数，而转化后的这个“函数”叫做生成函数。本文将从生成函数基本概念、生成函数的类型以及生成函数的实现三个方面介绍生成函数的知识。
一、生成函数基本概念
生成函数是一种序列的代数形式。对于数列{a0, a1, a2, …}，设其生成函数为G(x)，则有：
G(x) = a0 + a1x + a2x2 + … 注意：这里的“函数”并不是传统意义上的函数，而是把序列看成是某种函数的级数展开。
例如序列{1,1,1,1,1,1,…}，这个序列的生成函数为：
G(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + …
根据幂级数的乘法运算，可以得到两个序列的生成函数G(x)和H(x)的积等于两个序列的卷积的生成函数，即：
G(x)H(x) = (a0b0) + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + …
二、生成函数的类型
1. 普通生成函数
普通生成函数是最基本的生成函数类型，它对正整数序列进行代数变换。设序列{an}的普通生成函数为G(x)，则有：
G(x) = anxn
例如序列{1,1,1,1,1,1,…}，它的普通生成函数为：
G(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + …
2. 指数型生成函数
指数型生成函数通常用于处理递推关系式中的重复变量。设序列{an}的指数型生成函数为G(x)，则有：
G(x) = Σn≥0anxn/n!
例如序列{1,1,1,1,1,1,…}，它的指数型生成函数为：
G(x) = Σn≥01/n! = e^x
3. 拉普拉斯型生成函数
拉普拉斯型生成函数通常用于解决一些概率问题。设序列{an}的拉普拉斯型生成函数为G(x)，则有：
G(x) = Σn≥0anxn/e^xt
例如序列{0,0,1/2,1/2,0,0,…}，它的拉普拉斯型生成函数为：
G(x) = (1/2)e^-2x + (1/2)e^-x
三、生成函数的实现
C++代码实现一个数字函数的常规生成函数：
“`c++
#include
using namespace std;
const int N=1550,M=1e9+7;
int value[N],f[N];
inline void addedge(int u,int v) // 建边函数
{
for(register int i=N-1;i>=v;i–)
f[i]=(f[i]+f[i-v])%M;
}
int mn()
{
int n,k;
scanf(“%d%d”,&n,&k);
for(register int i=1;i
f[i]=1; // 初始化函数值
for(register int i=1;i
{
scanf(“%d”,&value[i]);
if(value[i]) // 若输入的数为0，则跳过
addedge(value[i],N-1);
}
cout
return 0;
}
以上这段代码，演示了建立一个数字分布函数的常规生成函数。
综上所述，生成函数是离散数学的重要工具，将序列转化为一种函数的形式，以便于用函数的方法研究序列的性质。生成函数类型有普通生成函数、指数型生成函数、拉普拉斯型生成函数，不同类型的生成函数适用于不同问题的研究。在实际应用中，极大的便利了数学研究员和计算机研究员的工作，为它们解决各种数学和计算问题提供了极大的帮助。
